Granica ciągu liczbowego
- Prawie wszystkie ― znaczenie w matematyce
- Wszystkie elementy poza skończoną ilością.
- Otoczenie punktu X0 na osi liczbowej o wielkości ℰ
- U(X0, ℰ) = (X0 - ℰ; X0 + ℰ) (przedział jest zawsze otwarty)
- Sąsiedztwo punktu X0 na osi liczbowej o wielkości ℰ
- S(X0, ℰ) = (X0 - ℰ; X0 + ℰ) \ {X0}
- Granica ciągu liczbowego
- Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an) przy n → +∞, wtedy i tylko wtedy gdy w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu
- Granica ciągu liczbowego ― definicja potoczna
- Granica to liczba do której dążą wartości ciągu
- Niewłaściwa granica ciągu liczbowego
- Granica ciągu, która jest równa ±∞
- Twierdzenie Leibnitza
lim anbn = 0, gdzie an jest ciągiem ograniczonym (łopatologicznie mówiąc: Jego wykres możemy go złapać w pas
) a bn jest ciągiem z granicą równą zero.- Twierdzenie o trzech ciągach (policjantach)
- Jeżeli mamy trzy ciągi an bn cn i lim an = lim cn = g ∧ an≤ bn ≤ cn to lim bn = g.
Właściwości granic ciągów liczbowych:
Granice ciągów liczbowych są addytywne
Granice ciągów liczbowych są substraktywne
Granice ciągów liczbowych są multiplikatywne
Granice ciągów liczbowych są podzielne przez siebie i przez liczbę
Zbierzność ciągów liczbowych a wielomiany:
Liczba podzielona przez wielomian dąży do zera. (Czym jest liczba przy nieskończoności? Niczym
)
st. W = st. Q
Granicą jest iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
st. W < st. Q
W(x) ÷ Q(x) → 0
st. W > st. Q
W(x) ÷ Q(x) → ±∞
Zbierzność ciągów potęgowych w postaci an = axn przyjmuje różne wartości w zależności od wartości współczynnika x (współczynnik a ∈ ℝ ∧ a ≠ 0 nie wpływa na granicę)
- a ∈ (-1; 1) ⇒ an → 0
- a = 1 ⇒ an → 1
- a = -1 ⇒ an → brak granicy: ciąg naprzemienny
- a > 1 ⇒ an → +∞
- a < -1 ⇒ an → brak granicy
Limesy z użyciem liczby e:
Sztuczki i kruczki przy obliczaniu granic ciągów liczbowych:
- Metoda na obejście symbolu nieoznaczonego w lim (√n2 + 1 - √n2 + 2):
- Druga metoda na obliczenie granicy ciągu typu wielomian przez wielomian:
Zasada indukcji matematycznej i symbol Newtona
Twierdzenia dotyczące zbioru liczb naturalnych lub nieskończonych podzbiorach ℕ (Od któregoś miejsca do przodu
) dowodzimy najczęściej metodą indukcji matematycznej.
Tłumacząc na bardziej zrozumiałą wersję:
Istnieje takie n należące do ℕ dla którego twierdzenie T jest prawdziwe i zachodzi dla następnego n, to zachodzi dla każdego n naturalnego dodatniego większego od k
Przykład: Jeżeli przewraca się jedna kostka domina i z tego wynika że przewraca się następna, to przewraca się każda kostka domina od pewnego miejsca.
Zasada indukcji matematycznej w teorii matematycznej jest aksjomatem, to znaczy że została przyjęta jako prawda i nie była dowodzona (Jest intuicyjna
).
Forma dowodu na podstawie ZIM:
Zadanie: Na podstawie ZIM dowiedź, iż twierdzenie jest prawdziwe: 1 + 2 + 3 + ... + n = ½n(n+1) dla każdego n ∈ ℕ+
(Pierwszy krok indukcyjny)
Sprawdzam twierdzenie dla n = 1
L = 1 P = ½ × 2 = 1
L = P
Własność zachodzi dla n = 1. Pierwszy krok indukcyjny prawdziwy.
Zakładam prawdziwość twierdzenia dla n = 1, wykażę prawdziwość twierdzenia dla n+1
Tn: 1 + 2 + 3 + ... + n = ½n(n+1)
Tn+1: 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = ½(n+1)((n+1)+1)Teraz próbujemy dojść od Tn+1 do Tn
L = 1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1) = ½n(n+1) + (n+1) (z założenia)
L = ½(n2 + n) + ½(2n+2) = ½(n2 + 3n + 2) = ½(n+1)(n+2)
P = ½(n+1)(n+2)
L = PNa podstawie ZIM i prawa przekazywania twierdzenie prawdziwe dla każdego n ∈ ℕ+
Zastosowania indukcji:
- Dowodzenie prawdziwości wzorów
- Dowodzenie podzielności
- Nierówności matematyczne
- Prawdziwość wzorów rekurencyjnych i ogólnych
- Różne twierdzenia w geometrii (na przykład ilość przekątnych w n-kącie foremnym)
- Teoria wielomianów (
każdy wielomian stopnia n ma najwyżej n pierwiastków
)
Silnia z n to iloraz wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych lub równych n: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, gdzie n ∈ ℕ+. Jedynym wyjątkiem jest silnia zera równa jeden: 0! = 1
Upraszczanie silnii:
Właściwości silnii:
- n! + k! ≠ (n + k)!
- n! - k! ≠ (n - k)!
- n! × k! ≠ (n × k)!
- n! ÷ k! ≠ (n ÷ k)!
k ∈ ℕ
n ∈ ℕ+
n ≥ k
Co czytamy jako n po k
lub n nad k
Właściwości:
Wzór na k-ty wyraz rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia w postaci (a+b)n:
Ciągi
Ciągi są specjalnym rodzajem funkcji:
- D ∈ ℕ+ (dziedziną są liczby naturalne dodatnie)
- Do oznaczania nazw ciągów używamy zazwyczaj kolejnych małych liter alfabetu i dodatkowej litery w indeksie dolnym oznaczającej
co jest zmienną
. By explicte wyrazić, że chodzi nam o ciąg an a nie o n-ty wyraz ciągu okładamy nazwę ciągu nawiasem (na przykład: (an) ) - a1, a2, a3, ... an - kolejne wyrazy ciągu
- Mogą być definiowane wzorem ogólnym (najczęściej) lub rekurencyjnie (rzadko, np. ciąg Fibonacciego)
- Ciąg stały: n ∈ ℕ+ ∧ an = an+1. Ciąg rosnący: n ∈ ℕ+ ∧ an < an+1. Ciąg malejący: n ∈ ℕ+ ∧ an > an+1. Ciągi niemalejący i nierosnący mają podobne
definicje
- Wyróżniamy dwa główne rodzaje ciągów:
- Arytmetyczny:
- Każdy kolejny wyraz powstaje poprzez dodanie stałej wartości do poprzedniego
- Wzór rekurencyjny: an = an-1 + r ∧ a1 = a, gdzie n ∈ ℕ+
- Wzór ogólny: an = a1 + (n-1)r, gdzie n ∈ ℕ+
- Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu: Sn = (a1 + an)(n/2)
- Wzór na n-ty wyraz mając jego sąsiadów: 2an = an-1 + an+1 albo 2an = an-m + an+m, więc n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazów równoodległych od niego
- Ciąg arytmetyczny jest określony gdy podamy jego trzy pierwsze wyrazy albo a1 i r albo, co oczywiste, podamy go wzorem
- Geometryczny:
- Każdy kolejny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu o pewną, stałą wartość
- Wzór rekurencyjny: an = an-1q ∧ a1 = a, gdzie n ∈ ℕ+
- Wzór ogólny: an = a1qn-1
- Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu: Sn = (a1(1 - qn))/(1-q)
- Wzór na n-ty wyraz mając jego sąsiadów: an2 = an-1an+1 albo an2 = an-kan+k, więc kwadrat n-tego wyrazu ciągu jest iloczynem wyrazów równoodległych od niego
- Ciąg geometryczny jest określony gdy podamy jego a1 i q albo trzy kolejne wyrazy ciągu (niekoniecznie początkowe) albo, oczywiście, wzór
- Arytmetyczny:
Schematy zadań (sucharek):
Zadanie: Sprawdź, czy istnieją takie wyrazy ciągu (an) o wyrazie ogólnym an = 2n2 - 9n + 11, które są równe 7
Wskazówki: Układamy równanie 2n2 - 9n + 11 = 7 i rozwiązujemy
Zadanie: Ile wyrazów ciągu (an) jest mniejszych od 89 , jeśli n-ty wyraz tego ciągu jest równy 4n-5
Wskazówki: Układamy równanie 4n - 5 < 89 i rozwiązujemy
Zadanie: Ile wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym an = n2 - 7n - 30 jest liczbami ujemnymi?
Wskazówki: Zbadaj odległość między miejscami zerowymi tej upośledzonej falki wielomianu (czytaj: paraboli)
Zadanie: Ile liczb trzeba wstawić między liczby 16 i 250 aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi 1995
Wskazówki: Potraktuj 16 jako a1, 250 jako an, podstaw do wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i rozwiąż
Zadanie: Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an = n2 - 9n - 5
Wskazówki: Zbadaj znak różnicy an+1 - an dla dowolnego n ∈ ℕ+
Niestety, dział ciągów
na poziomie matury rozszerzonej nie ma wielu innych schematów zadań -- większość z nich jest zadaniami na własności ciągów lub na dowodzenie.
Nowe metody walki ze złem, czyli schematy zadań maturalnych z wielomianów
Tym razem będzie niewiele schematów zadań -- w wielomianach niewiele zadań jest schematycznych, poniżej przedstawiamy najważniejsze sztuczki i kruczki. Mamy nadzieję, że okażą się pomocne :-)
Zadanie: oblicz sumę współczynników wielomianu W(x) = (31337x3 - 10x2 - 1331x)2007
Wskazówki: Podstaw za zmienną x jedynkę.
Zadanie: Nie wykonując dzielenia, zbadaj czy wielomian W(x) = x4 - 3x3 + x2 + 3x - 2 jest podzielny przez wielomian P(x) = (x - 1)(x - 2)
Wskazówki: Korzystając z twierdzenia o reszcie, sprawdź czy wielomian W(x) dzieli się przez oba pierwiastki P(x) jednocześnie
Zadanie: Znajdź współczynniki b i c wiedząc, że wielomian W(x) = x3 + bx2 + cx + 6 jest podzielny przez wielomian P(x) = (x - 2)(x - 3)
Wskazówki: To zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego, również skorzystamy z twierdzenia o reszcie, ale tym razem do utworzenia układu dwóch równań: W(2) = 0 ∧ W(3) = 0
Zadanie: Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = x4 + 12x2 - 4x + 8
Wskazówki: Najważniejsze jest "zejście" na niższy stopień wielomianu, czy to przez grupowanie wyrazów i wyciąganie części wspólnych przed nawias czy dzięki metodzie podejrzanych i konsekwentnemu dzieleniu. Celem jest zapisanie W(x) w postaci iloczynu jednomianów i dwumianów.
Zadanie: Rozwiąż równanie x4 + 9x3 + 17x2 = 27x + 60 wiedząc, że liczba a = -5 jest jednym z jego pierwiastków (czyli: znajdź inne pierwiastki)
Wskazówki: Wariacja poprzedniego typu zadań. Przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą, dzielimy lewą stronę równania przez x + 5, stosujemy metodę podejrzanych lub grupowanie wyrazów a następnie atakujemy deltą (Δ) powstałe równanie kwadratowe. Na końcu zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej i zapisujemy osobno miejsca zerowe wielomianu x0 ∈ { -5, -4, -√3, √3 } (to akurat ważne -- niejedna osoba przez głupie niezapisanie ostatecznej odpowiedzi straciła punkty na maturze)
Zadanie: Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie mx3 + (9m - 3)x2 + (2 - m)x = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie
Wskazówki: wyciągnij x przed nawias a następnie skorzystaj z delty: (Δ = 0 ∧ x0 > 0) ∨ (Δ > 0 ∧ x1 > 0 ∧ x2 > 0) ∨ (Δ > 0 ∧ x1 > 0 ∧ x2 = 0) ∨ (Δ > 0 ∧ x1 > 0 ∧ x2 < 0)
Zadanie: Rozwiąż równanie 4|x|3 - |x|2 = 0
Wskazówki: utwórz zmienną pomocniczą t = |x|, wyciągnij t2 przed nawias, wypisz pierwiastki równania pomocniczego ze zmienną t, sprawdź czy |x| = t0 dla każdego pierwiastka. Dla tych, które nie są sprzeczne wypisz możliwe wartości x, są to rozwiązania równania.
Wielomiany
Wielomiany to funkcje mające różne potęgi i współczynniki przy zmiennych. Możemy je również traktować jako wyrażenie. Określamy je ogólnym wzorem:
W(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
Dla przykładu: 3x3 + √1337x2 + 8 jest wielomianem, natomiast √x2 + 2 nim nie jest.
Pierwiastkiem wielomianu jest, podobnie jak przy funkcji kwadratowej, jest liczba, dla której po podstawieniu za zmienną x wielomian przyjmie wartość równą zeru: W(x0) = 0
Liczba a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny bez reszty przez (x -a)k ale nie jest podzielny bez reszty przez (x - a)k + 1
Dozwolone działania na wielomianach:
- Dodawanie - jak na wyrażeniach
- Odejmowanie - jak na wyrażeniach
- Mnożenie - jak na wyrażeniach
- Dzielenie - osobny algorytm (schemat Hornera)
Przydatne twierdzenia dotyczące wielomianów (nie wymagające dowodu na egzaminie maturalnym):
- Twierdzenie o reszcie: reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x -a jest równa W(a)
- Twierdzenie o dzieleniu z resztą: W(x) = Q(x)P(x) + R(x), gdzie W(x) - wielomian podstawowy, Q(x) - wielomian będący wynikiem dzielenia wielomianu W(x) przez P(x), R(x) - reszta z dzielenia wielomianu.
- Twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu: Wielomian o stopniu n ma co najwyżej n perwiastków.
- Twierdzenie Bezoute'a: Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to wielomian W(x) jest podzielny bez reszty przez wielomian x - a
- Metoda liczb podejrzanych o bycie pierwiastkami wielomianu: Jeżeli mamy wielomian W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 i a0 ≠ 0 ∧ a0, a1, a2, ... an ∈ C i p jest dzielnikiem a0 i q jest dzielnikiem an to wtedy wszystkie możliwe pary p i q, takie że p/q, są podejrzane o bycie pierwiastkiem wielomianu W(x).
Mówiąc bardziej po ludzku: jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi i dwa skrajne są niezerowe to tworzymy dwie listy: p i q, na pierwszą wpisujemy wszystkie dzielniki a0, na drugą wszystkie dzielniki an i podstawiamy do wielomianu wszystkie możliwe wyniki dzielenia p/q.
Falka wielomianu jest przybliżonym wykresem danego wielomianu. By ją narysować musimy najpierw doprowadzić wielomian do postaci iloczynowej (poznać wszystkie jego miejsca zerowe i ich krotność) i zaznaczamy miejsca zerowe na osi ox (nie rysujemy osi oy - byłaby ona tylko zbędnym balastem). Następnie umieszczamy zaczynamy rysować od prawej strony znad osi ox jeśli współczynnik an jest dodatni; jeżeli jest ujemny to zaczynamy od prawej strony spod osi oy. Rysujemy łuk do najbliższego miejsca zerowego, jeżeli to miejsce zerowe jest krotności nieparzystej to przecinamy oś ox, jeżeli pierwiastek jest krotności parzystej to "odbijamy" się od osi.
(schematy zadań jutro)